Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về hình học trong tam giác vuông.

### Phần 1: Tính các thông số của tam giác

1. **Cho tam giác ABC vuông tại A**:
- \( AB = 6 \) cm
- \( BC = 10 \) cm

Sử dụng định lý Pytago trong tam giác vuông, ta có:
\[
AC^2 + AB^2 = BC^2 \Rightarrow AC^2 + 6^2 = 10^2 \Rightarrow AC^2 + 36 = 100 \Rightarrow AC^2 = 64 \Rightarrow AC = 8 \text{ cm}
\]

**Tính các góc**:
Sử dụng định nghĩa lượng giác để tính các góc:
- Đối với góc B:
\[
\tan(B) = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{6} \Rightarrow B = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)
\]
Với giá trị này, ta có thể sử dụng máy tính để tính gần đúng độ.

- Đối với góc C, ta có:
\[
C = 90^\circ - B
\]

**Tính chiều cao AH**:
Đường cao AH trong tam giác vuông có thể tính bằng công thức:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4.8 \text{ cm}
\]

**Tóm lại**:
- \( AB = 6 \) cm
- \( AC = 8 \) cm
- \( BC = 10 \) cm
- \( AH = 4.8 \) cm
- \( B \) và \( C \) được tính như trên.

### Phần 2: Các câu hỏi liên quan đến điểm H

Giả sử \( D \) và \( E \) là hình chiếu của \( H \) trên \( AB \) và \( AC \).

a) **Chứng minh \( AD \cdot AB = AE \cdot AC \)**:
Sử dụng định lý đồng dạng và tỉ lệ:
\[
AD = AH \cdot \frac{AB}{BC} \quad \text{và} \quad AE = AH \cdot \frac{AC}{BC}
\]
Vì \( AH \) là chung, ta có:
\[
AD \cdot AB = (AH \cdot \frac{AB}{BC}) \cdot AB = AH \cdot \frac{AB^2}{BC}
\]
\[
AE \cdot AC = (AH \cdot \frac{AC}{BC}) \cdot AC = AH \cdot \frac{AC^2}{BC}
\]
Từ đó, ta thấy rằng \( AD \cdot AB = AE \cdot AC \).

b) **Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác AED**:
Sử dụng tỉ lệ các cạnh:
- \( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{AH} \)
Do đó, tam giác ABC đồng dạng với tam giác AED theo tiêu chuẩn AA (góc-góc).

c) **Tính giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ADHE**:
Diện tích tứ giác ADHE có thể tính bằng công thức:
\[
S = AD \cdot AE
\]
Trong trường hợp này, diện tích tứ giác là một hình chữ nhật. Giá trị lớn nhất của diện tích này thường đạt được khi \( AD \) và \( AE \) đồng đều. Ta có thể tìm giá trị này bằng cách giải bài toán tối ưu hóa.

Thực hiện tính toán cụ thể cho số, sử dụng công thức, thay số và tìm cực đại cho diện tích tứ giác ADHE theo các nguyên tắc toán học cụ thể.

### Tổng kết
Vậy:
- Đã tìm được chiều cao \( AH = 4.8 \) cm
- Đã chứng minh các tỉ lệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác.
- Diện tích tứ giác ADHE có thể được tối ưu hóa.

Nếu bạn cần thêm thông tin, hãy cho biết!