Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ xem xét từng câu một cách chi tiết.

### a) Chứng minh tồn tại điểm \( G \)

Ta cần tìm một điểm \( G \) sao cho:

\[
\overline{GA} + \overline{GB} + \overline{GC} + \overline{GD} = 0.
\]

Điều này có thể được hiểu là tổng của các vectơ từ \( G \) đến các điểm \( A, B, C, D \) bằng vectơ 0, tức là \( G \) là trung điểm của các đoạn thẳng nối các điểm này.

Giả sử tọa độ của các điểm \( A, B, C, D \) là \( A(a_1, a_2), B(b_1, b_2), C(c_1, c_2), D(d_1, d_2) \). Khi đó tọa độ của \( G \) có thể biểu diễn như sau:

\[
G = \left( \frac{a_1 + b_1 + c_1 + d_1}{4}, \frac{a_2 + b_2 + c_2 + d_2}{4} \right).
\]

Đối với bất kỳ tứ giác nào, tồn tại một duy nhất điểm \( G \) thỏa mãn điều kiện \( \overline{GA} + \overline{GB} + \overline{GC} + \overline{GD} = 0 \).

### b) Chứng minh \( G \) là trung điểm của các đoạn thẳng

Tại điểm \( G \) như đã chứng minh ở phần a), ta có thể coi \( G \) là trung điểm của từng cặp điểm:

1. \( G \) là trung điểm của \( AB \)
2. \( G \) là trung điểm của \( CD \)
3. \( G \) là trung điểm của \( AC \)
4. \( G \) là trung điểm của \( BD \)

Theo tính chất đối xứng của tứ giác, đoạn nối các trung điểm sẽ tạo thành một tứ giác mới có trọng tâm mà tại đó vẫn giữ nguyên tính chất của tứ giác ban đầu.

### c) Chứng minh về vị trí của \( G \)

Nếu \( G \) nằm trên các đoạn thẳng nội tiếp của tam giác tạo bởi 3 trong 4 điểm của tứ giác, thì tổng các khoảng cách từ \( G \) tới mỗi điểm sẽ thay đổi tùy thuộc vào vị trí của nó trong mặt phẳng. Tuy nhiên, dựa vào định lý trọng tâm, \( G \) sẽ luôn nằm trong tứ giác khi \( A, B, C, D \) không đồng trục.

Kết luận rằng \( G \) luôn là trọng tâm của tứ giác \( ABCD \) và thỏa mãn các điều kiện cần thiết.

### Kết luận

Điểm \( G \) duy nhất như trên chính là trọng tâm của tứ giác \( ABCD \).