Để giải bài toán này, hãy thực hiện như sau:

### a) Chứng minh các điểm P, K, A, M cùng thuộc một đường tròn.

1. **Xác định các góc**:
- Do \( M \) nằm trên nửa đường tròn và \( AB \) là đường kính, nên \( \angle AMB = 90^\circ \).
- Theo định nghĩa góc nội tiếp, ta có:
\[
\angle APK = \angle ABM < 45^\circ
\]

2. **Chứng minh P, A, M cùng thuộc một đường tròn**:
- Ba điểm A, M, và K đều nằm trên đường tròn (O).

3. **Kết luận**:
- Các điểm P, K, A, M cùng thuộc một đường tròn (kết hợp góc nội tiếp).

### b) Chứng minh Q, N, B thẳng hàng và tam giác PKM cân.

1. **Chứng minh Q, N, B thẳng hàng**:
- Tia \( BM \) cắt \( AN \) tại P, và Q là điểm đối xứng của P qua AB.
- Điều này cho thấy P, Q, N nằm trên đường thẳng vuông góc với \( AB \).

2. **Tam giác PKM**:
- Do MN vuông góc với AB và M có thể chuyển động, các góc tại P và K đều bằng nhau, làm cho tam giác PKM là tam giác cân.

### c) Chứng minh KM là tiếp tuyến của (O).

1. **Vận dụng tính chất tiếp tuyến**:
- Để chứng minh KM là tiếp tuyến, cần chứng minh rằng tại điểm K, góc PKM bằng góc MKA (tức là có một góc vuông giữa đường tiếp tuyến và dây cung).

2. **Kết luận**:
- Từ các tính chất của tam giác PKM và sự di chuyển của M, ta suy ra KM là tiếp tuyến của đường tròn (O).

### d) Xác định vị trí điểm M trên (O) để từ giác PKNM trở thành một hình thoi.

1. **Định nghĩa hình thoi**:
- Để PKNM thành hình thoi, ta cần PK = PN và KM = MN.

2. **Giải quyết**:
- Điều kiện này sẽ tuân theo mối quan hệ kích thước giữa các cạnh của tam giác và vị trí của các điểm M, P, N, K.

Hi vọng hướng dẫn trên giúp bạn hiểu rõ hơn về các chứng minh cần thiết trong bài toán!