Để tìm số nguyên \( x \) sao cho biểu thức \( A = \frac{\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} - 3} \) là số nguyên, ta cần làm theo các bước sau:

1. **Điều kiện xác định**: Để biểu thức \( A \) được xác định, điều kiện phải có \( \sqrt{x} - 3 \neq 0 \), tức là \( \sqrt{x} \neq 3 \) hay \( x \neq 9 \). Bên cạnh đó, \( x \) cũng phải không âm (do có căn bậc hai).

2. **Khi \( A \) là số nguyên**: Gọi \( A = k \) (với \( k \) là một số nguyên). Ta có:
\[
k = \frac{\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} - 3}
\]

Giải phương trình này cho \( x \):
\[
k(\sqrt{x} - 3) = \sqrt{x} + 5
\]
\[
k\sqrt{x} - 3k = \sqrt{x} + 5
\]
\[
(k - 1)\sqrt{x} = 3k + 5
\]
\[
\sqrt{x} = \frac{3k + 5}{k - 1}
\]

3. **Biểu thức cho \( x \)**:
\[
x = \left(\frac{3k + 5}{k - 1}\right)^2
\]

4. **Tìm \( k \) sao cho \( x \) là số nguyên**:
\( 3k + 5 \) phải chia hết cho \( k - 1 \). Ta tính \( x \) cho một số giá trị của \( k \):

- Khi \( k = 2 \):
\[
x = \left(\frac{3(2) + 5}{2 - 1}\right)^2 = \left(\frac{6 + 5}{1}\right)^2 = 11^2 = 121
\]

- Khi \( k = 3 \):
\[
x = \left(\frac{3(3) + 5}{3 - 1}\right)^2 = \left(\frac{9 + 5}{2}\right)^2 = \left(\frac{14}{2}\right)^2 = 7^2 = 49
\]

- Khi \( k = 4 \):
\[
x = \left(\frac{3(4) + 5}{4 - 1}\right)^2 = \left(\frac{12 + 5}{3}\right)^2 = \left(\frac{17}{3}\right)^2 \quad (\text{không phải là số nguyên})
\]

- Khi \( k = 5 \):
\[
x = \left(\frac{3(5) + 5}{5 - 1}\right)^2 = \left(\frac{15 + 5}{4}\right)^2 = \left(\frac{20}{4}\right)^2 = 5^2 = 25
\]

- Kiểm tra các giá trị khác...

5. **Kết luận**: Các giá trị nguyên của \( x \) mà chúng ta tìm được từ \( k = 2 \), \( k = 3 \), và \( k = 5 \) là:
- \( x = 121 \)
- \( x = 49 \)
- \( x = 25 \)

**Vậy các số nguyên \( x \) sao cho biểu thức \( A \) là số nguyên là 25, 49 và 121.**