Để giải bài toán, ta sẽ sử dụng định lý Cosine và áp dụng một số kiến thức về hình học.

1. **Tính độ dài cạnh AC:**
- Ta có: \( AB = 9 \), \( BC = 10 \), \( AC = \sqrt{73} \).

2. **Tính góc A bằng định lý Cosine:**
\[
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \times AB \times BC \cdot \cos(A)
\]
Thay số vào:
\[
73 = 9^2 + 10^2 - 2 \times 9 \times 10 \cdot \cos(A)
\]
Tính toán:
\[
73 = 81 + 100 - 180 \cdot \cos(A)
\]
\[
73 = 181 - 180 \cdot \cos(A)
\]
\[
180 \cdot \cos(A) = 181 - 73 = 108
\]
\[
\cos(A) = \frac{108}{180} = 0.6
\]

3. **Sử dụng luật sin để tính độ dài AI:**
- Gọi \( CI = 5 \).
- Ta có độ dài \( BI = BC + CI = 10 + 5 = 15 \).

4. **Tính độ dài AI sử dụng định lý Cosine trên tam giác ACI:**
\[
AI^2 = AC^2 + CI^2 - 2 \times AC \times CI \cdot \cos(A)
\]
Thay các giá trị đã biết:
\[
AI^2 = 73 + 5^2 - 2 \times \sqrt{73} \times 5 \cdot 0.6
\]
\[
= 73 + 25 - 6\sqrt{73}
\]
\[
AI^2 = 98 - 6\sqrt{73}
\]

5. **Tính AI:**
\[
AI = \sqrt{98 - 6\sqrt{73}}
\]

Vậy độ dài AI sẽ là \(\sqrt{98 - 6\sqrt{73}}\).