### Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

#### a) \( x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \)

Đầu tiên, ta nhóm các hệ số:
\[
(x^3 + 6x^2) + (12x + 8)
\]
\[
= x^2(x + 6) + 4(3x + 2)
\]
Tiếp theo, ta nhận thấy có thể biến đổi để tạo thành một nhân tử chung:
\[
= (x + 2)(x^2 + 4(x + 2))
\]
\[
= (x + 2)((x^2 + 4x) + 8) = (x + 2)(x + 4)^2
\]

**Kết quả:** \( (x + 2)(x + 4)^2 \)

#### b) \( 6x(x + 3) - 4(9 - x^2) \)

Trước tiên, ta mở ngoặc:
\[
= 6x^2 + 18x - 36 + 4x^2
\]
\[
= 10x^2 + 18x - 36
\]
Sau đó, nhóm lại và phân tích:
\[
= 2(5x^2 + 9x - 18)
\]
Sử dụng công thức nghiệm để phân tích đa thức bậc 2:
\[
= 2(5x^2 + 15x - 6x - 18) = 2[(5x^2 + 15x) + (-6x - 18)]
\]
\[
= 2[5x(x + 3) - 6(x + 3)] = 2(x + 3)(5x - 6)
\]

**Kết quả:** \( 2(x + 3)(5x - 6) \)

#### c) \( 2xy + y - x - x^2 - y^2 \)

Ta nhóm lại:
\[
= -x^2 - x + 2xy + y - y^2
\]
Thay đổi thứ tự:
\[
= -x^2 + 2xy - y^2 - x + y
\]
Phân tích:
\[
= -(x^2 - 2xy + y^2) - (x - y)
\]
\[
= -(x - y)^2 - (x - y)
\]
\[
= -(x - y)((x - y) + 1)
\]

**Kết quả:** \( -(x - y)((x - y) + 1) \)

---

### Bài 2: Tìm \( x \)

#### a) \( (3x - 2)^2 + 6 - 9x = 0 \)

Giải phương trình:
\[
(3x - 2)^2 + 6 - 9x = 0
\]
\[
= (3x - 2)^2 - 9x + 6 = 0
\]
Mở ngoặc:
\[
9x^2 - 12x + 4 - 9x + 6 = 0
\]
\[
9x^2 - 21x + 10 = 0
\]
Áp dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{21 \pm \sqrt{(-21)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 10}}{2 \cdot 9}
\]
\[
= \frac{21 \pm \sqrt{441 - 360}}{18} = \frac{21 \pm \sqrt{81}}{18} = \frac{21 \pm 9}{18}
\]
Nghiệm:
\[
x_1 = \frac{30}{18} = \frac{5}{3}, \quad x_2 = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}
\]

#### b) \( y = 1 + 5x - 3x^2 \)

Tìm giá trị lớn nhất của hàm:
\[
y = -3x^2 + 5x + 1
\]
Sử dụng công thức để tìm giá trị cực đại:
\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2 \cdot -3} = \frac{5}{6}
\]
Thay vào hàm để tìm \( y \):
\[
y = -3\left(\frac{5}{6}\right)^2 + 5\left(\frac{5}{6}\right) + 1
\]
Tính giá trị:
\[
= -3\left(\frac{25}{36}\right) + \frac{25}{6} + 1 = -\frac{75}{36} + \frac{150}{36} + \frac{36}{36} = \frac{111}{36} = \frac{37}{12}
\]
**Giá trị lớn nhất:** \( \frac{37}{12} \) khi \( x = \frac{5}{6} \).