Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh

Để chứng minh công thức diện tích của tam giác nhọn \( ABC \):

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2} BC \cdot CA \cdot \sin C = \frac{1}{2} BA \cdot BC \cdot \sin B
\]

Ta có thể bắt đầu từ định nghĩa diện tích của tam giác.

1. **Công thức diện tích tam giác**:
Diện tích của tam giác có thể được tính bằng cơ sở và chiều cao. Nếu ta chọn cạnh \( BC \) làm cơ sở, chiều cao sẽ là đoạn thẳng từ đỉnh \( A \) xuống cạnh \( BC \), ký hiệu là \( h_A \). Do đó, diện tích tam giác có thể tính như sau:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_A
\]

2. **Chiều cao \( h_A \)**:
Chiều cao \( h_A \) của tam giác có thể được tính bằng công thức:
\[
h_A = AB \cdot \sin C
\]
Do đó, thay vào công thức tính diện tích, ta có:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot (AB \cdot \sin C) = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin C
\]

3. **Áp dụng cho các cạnh khác**:
Tương tự, nếu ta chọn \( AB \) làm cơ sở, chiều cao sẽ là:
\[
h_B = AC \cdot \sin A
\]
Như vậy:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot (AC \cdot \sin A) = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A
\]

4. **Hoặc chọn cạnh \( AC \)**:
Chiều cao lúc này sẽ là \( BC \cdot \sin B \):
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot (BC \cdot \sin B) = \frac{1}{2} AC \cdot BC \cdot \sin B
\]

Từ việc sử dụng chiều cao và các cạnh của tam giác, ta đã chứng minh được:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2} BC \cdot CA \cdot \sin C = \frac{1}{2} BA \cdot BC \cdot \sin B
\]

Công thức này được áp dụng cho mọi tam giác nhọn, hoàn thành xong chứng minh.