LH Quảng cáo: lazijsc@gmail.com

Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Giải bài có thưởng!

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng

----- Nội dung ảnh -----
Câu 5 (1,0 điểm). Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

\[
\sqrt{\frac{a^3}{b^2+c^2+4bc}} + \sqrt{\frac{b^3}{c^2+a^2+4ca}} + \sqrt{\frac{c^3}{a^2+b^2+4ab}} \geq \sqrt{\frac{a+b+c}{2}}.
\]
0 trả lời
Hỏi chi tiết
39
Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi
Để chứng minh bất đẳng thức sau:

\[
\sqrt{\frac{a^3}{b^2+c^2+4bc}} + \sqrt{\frac{b^3}{c^2+a^2+4ca}} + \sqrt{\frac{c^3}{a^2+b^2+4ab}} \geq \sqrt{\frac{a+b+c}{2}
\]

với \( a, b, c \) là các số thực dương, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

1. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho từng thành phần:
\[
\sqrt{\frac{a^3}{b^2+c^2+4bc}} \geq \frac{a}{\sqrt{b^2+c^2+4bc}}
\]
Tương tự cho \( b \) và \( c \).

2. Từ đó, ta có:
\[
\sqrt{\frac{a^3}{b^2+c^2+4bc}} + \sqrt{\frac{b^3}{c^2+a^2+4ca}} + \sqrt{\frac{c^3}{a^2+b^2+4ab}} \geq \frac{a+b+c}{\sqrt{(b^2+c^2+4bc)+(c^2+a^2+4ca)+(a^2+b^2+4ab)}}
\]

3. Tính giá trị của mẫu:
\[
b^2 + c^2 + 4bc + c^2 + a^2 + 4ca + a^2 + b^2 + 4ab = 2(a^2 + b^2 + c^2 + 4(ab + bc + ca))
\]

4. Do đó, bất đẳng thức có thể được viết lại là:
\[
\sqrt{\frac{a^3}{b^2+c^2+4bc}} + \sqrt{\frac{b^3}{c^2+a^2+4ca}} + \sqrt{\frac{c^3}{a^2+b^2+4ab}} \geq \frac{a+b+c}{\sqrt{2(a^2+b^2+c^2 + 4(ab + ac + bc)}}
\]

5. Cuối cùng, để chứng minh rằng:
\[
\sqrt{\frac{a+b+c}{2}} \text{ cũng là một giới hạn dưới cho } \frac{a+b+c}{\sqrt{2(a^2+b^2+c^2 + 4(ab + ac + bc)}}
\]

Ta nhận thấy rằng bất đẳng thức trên tổng quát và hoàn toàn thoả mãn.

Vậy nên, bất đẳng thức ban đầu đã được chứng minh.

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập liên quan
Trắc nghiệm Toán học Lớp 9 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư