Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của \( m \) sao cho \( A \cap B \cap C \neq \emptyset \), với các tập hợp đã cho là:

1. \( A = (-3; -1) \cap (1; 2) \)
2. \( B = (m; +\infty) \)
3. \( C = (-\infty; 2m) \)

**Bước 1: Tìm tập hợp A**

Tập hợp \( A \) là giao của hai khoảng:

- Giao của \( (-3; -1) \) và \( (1; 2) \) là tập hợp rỗng \( A = \emptyset \) vì không có số nào vừa thuộc khoảng \( (-3; -1) \) (số âm) vừa thuộc khoảng \( (1; 2) \) (số dương).

**Bước 2: Tìm điều kiện cho B và C**

Dù ta đã xác định rằng \( A \) là tập rỗng, ta vẫn cần xác định điều kiện cho \( B \cap C \neq \emptyset \):

- \( B \) có dạng \( (m; +\infty) \), nghĩa là các số lớn hơn \( m \).
- \( C \) có dạng \( (-\infty; 2m) \), nghĩa là các số nhỏ hơn \( 2m \).

**Bước 3: Tìm điều kiện giao giữa B và C**

Để \( B \cap C \) khác tập rỗng, ta cần có:

\[
(m; +\infty) \cap (-\infty; 2m) \neq \emptyset
\]

Điều này có nghĩa là:

1. Phần lớn hơn \( m \) (giới hạn dưới là \( m \)) cần phải nhỏ hơn \( 2m \) (giới hạn trên là \( 2m \)).
2. Điều kiện này cho ta bất phương trình sau:

\[
m < 2m
\]

Điều này luôn đúng khi \( m > 0 \).

**Kết luận:**

Cho \( m > 0 \), ta có thể kết luận rằng \( B \cap C \neq \emptyset \). Tuy nhiên, do \( A \) là tập rỗng, \( A \cap B \cap C \) vẫn sẽ là tập rỗng không phụ thuộc vào giá trị của \( m \).

Vậy để \( A \cap B \cap C \neq \emptyset \), không có giá trị nào cho \( m \) thỏa mãn vì \( A \) đã là tập rỗng.

Do đó, không có giá trị của \( m \) nào làm cho \( A \cap B \cap C \) khác rỗng vì \( A = \emptyset \).