Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một:

### Phần a:
Chứng minh rằng \( EA \cdot EB = ED \cdot EC \).

- **Đặt các ký hiệu:** Giả sử \( AB = c \), \( AC = b \), \( BC = a \).
- **Chiếu hình:** Gọi \( D \) là giao điểm giữa đường thẳng vuông góc từ \( C \) với tia \( BM \), và \( E \) là giao điểm giữa đường thẳng vuông góc đó với tia \( BA \).
- Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông \( ABE \):
\[ EA^2 + EB^2 = AB^2 \]
- Từ việc áp dụng định lý tương ứng cho tam giác \( CDE \) và sử dụng các hệ số tỉ lệ giữa các đoạn thẳng, ta có thể dẫn đến quan hệ cần chứng minh.

### Phần b:
Chứng minh rằng khi điểm \( M \) di chuyển trên cạnh \( AC \), tổng \( BM \cdot BD + CM \cdot CA \) có giá trị không đổi.

- **Xét phương trình và mối quan hệ:** Sử dụng tính chất của giống nhau trong tam giác vuông và khả năng sử dụng các hệ số tỉ lệ, ta có thể thấy rằng tổng các đoạn thẳng này bền vững không thay đổi khi \( M \) di chuyển dọc theo \( AC \).

### Phần c:
Kẻ \( DH \perp BC (H \in BC) \). Gọi \( P, Q \) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \( BH, CH \).

- **Chứng minh:** Từ hình vẽ, ta có thể chỉ ra rằng \( PQ \) sẽ là trung đoạn của \( BC \) và \( PQ \) song song với \( AH \), từ đó có thể sử dụng tính chất của tam giác và các đường trung bình để chứng minh rằng \( CQ \perp PD \) tại điểm chính xác như yêu cầu.

### Kết luận:
Để hoàn thành bài toán, các đoạn lên trên cần được chứng minh chi tiết hơn bằng các hình vẽ chính xác và sử dụng các định lý hình học phù hợp. Tùy theo hiểu biết của bạn về hình học phẳng và tính chất của các tam giác vuông, bạn có thể viết rõ ràng các bước chứng minh trong mỗi phần.