Chúng ta sẽ chứng minh từng hệ thức theo yêu cầu:

### a) \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \)

Đây là định lý Pythagore trong tam giác vuông. Để chứng minh:

- Xét một tam giác vuông có góc \(a\), với độ dài cạnh đối bằng \( \sin a \) và độ dài cạnh kề bằng \( \cos a \).
- Theo định lý Pythagore, độ dài cạnh huyền bằng 1 (do ta sử dụng tam giác đơn vị), ta có:

\[
\sin^2 a + \cos^2 a = \frac{đối^2}{huyền^2} + \frac{kề^2}{huyền^2} = 1
\]

Vậy hệ thức được chứng minh đúng.

### b) \( 1 + \tan^2 a = \frac{1}{\cos^2 a} \) (với \( \cos a \neq 0 \))

Ta biết:

\[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}
\]

Vậy:

\[
\tan^2 a = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}
\]

Thay vào hệ thức:

\[
1 + \tan^2 a = 1 + \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = \frac{\cos^2 a + \sin^2 a}{\cos^2 a} = \frac{1}{\cos^2 a}
\]

Do đó, hệ thức cũng được chứng minh đúng.

### c) \( 1 + \cos^2 a = \frac{1}{\sin^2 a} \) (với \( 0^\circ < a < 180^\circ \))

Đầu tiên, ta sẽ sử dụng hệ thức:

\[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1 \Rightarrow \cos^2 a = 1 - \sin^2 a
\]

Thay thế vào hệ thức cần chứng minh:

\[
1 + \cos^2 a = 1 + (1 - \sin^2 a) = 2 - \sin^2 a
\]

Sau đó, ta cần biến đổi lại:

Tuy nhiên, \( \frac{1}{\sin^2 a} \) khác với biểu thức trên. Nếu biểu thức là \( 1 + \cos^2 a = \frac{1}{\sin^2 a} \) thì thử nghiệm sẽ không đúng, bạn có thể xem lại. Có thể hệ thức này cần sửa đổi.

Nếu cần chứng minh khác, hoặc cần sử dụng thêm điều kiện khác, vui lòng cho tôi biết!

---

Tóm lại, các hệ thức a) và b) đã được chứng minh, còn c) cần thiết có điều kiện khác hoặc kết quả có thể không chính xác.