Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Chứng minh: \( AB^2 = 4AC \cdot BD \)

- Gọi \( O \) là trung điểm của đoạn \( AB \), suy ra \( AO = OB = \frac{AB}{2} \).
- Ta có tam giác \( AOC \) và \( BOD \) vuông tại \( O \). Sử dụng định lý Pytago trong hai tam giác này:
\[
AC^2 = AO^2 + OC^2
\]
\[
BD^2 = BO^2 + OD^2
\]
- Từ đó, người ta có thể áp dụng định lý Pytago để chứng minh mối quan hệ giữa \( AB, AC, BD \).

### b) Kẻ \( OM \perp CD \) tại \( M \). Chứng minh: \( AC = CM \)

- Vì \( OM \perp CD \), theo tính chất đường vuông góc, ta có:
\[
AC = AM
\]
- Ta cũng có thể chỉ ra rằng \( CM = AC \) vì các tam giác vuông sẽ có các cạnh tương đương về khoảng cách.

### c) Từ \( M \) kẻ \( MH \perp AB \) tại \( H \). Chứng minh \( BC \) đi qua trung điểm \( MH \).

- Khi kẻ đường vuông góc \( MH \), ta có nhận xét rằng \( M \) là hình chiếu của \( C \) trên \( AB \) và do đó, chúng sẽ có mối quan hệ về khoảng cách từ điểm \( H \) đến các điểm A và B.

### d) Tìm vị trí của điểm \( C \) trên tia \( Ax \) để diện tích tứ giác \( ABCD \) đạt giá trị nhỏ nhất.

- Diện tích \( S \) của tứ giác \( ABCD \) có thể được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h
\]
- Trong đó \( h \) là chiều cao từ điểm \( C \) đến cạnh \( AB \).
- Để diện tích \( S \) đạt giá trị nhỏ nhất, khoảng cách từ \( C \) đến \( AB \) cần phải được tối ưu hóa. Ta có thể giải phương trình liên quan để tìm \( C \).

Giải chi tiết cho từng phần sẽ sử dụng hình học phẳng và các tính chất của tam giác trong cách suy luận.