Một số chia cho 7 dư 3,chia cho 17 dư 2, chia cho 23 dư 7.Hỏi số đó chia cho 2737 dư bao nhiêu?

## Bài 1:

Cho số cần tìm là \(x\). Theo đề bài, ta có các hệ thức sau:
\[
x \equiv 3 \mod 7
\]
\[
x \equiv 2 \mod 17
\]
\[
x \equiv 7 \mod 23
\]

Ta sẽ giải bài toán này bằng phương pháp đồng dư.

### Bước 1: Giải hệ phương trình đầu tiên

Ta sẽ bắt đầu với hai phương trình đầu tiên:

1. \(x \equiv 3 \mod 7\)
2. \(x \equiv 2 \mod 17\)

Để giải hệ này, ta có thể biểu diễn \(x\) từ phương trình thứ nhất:
\[
x = 7k + 3 \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
7k + 3 \equiv 2 \mod 17
\]
Giải phương trình này:
\[
7k \equiv 2 - 3 \mod 17 \Rightarrow 7k \equiv -1 \mod 17 \Rightarrow 7k \equiv 16 \mod 17
\]

Giải phương trình này, ta cần tìm số nghịch đảo của 7 modulo 17. Ta có thể tìm số nghịch đảo bằng cách sử dụng thuật toán tìm số nghịch đảo. Ta kiểm thử:
\[
7 \times 5 = 35 \equiv 1 \mod 17 \Rightarrow 7^{-1} \equiv 5 \mod 17
\]

Vậy:
\[
k \equiv 5 \times 16 \mod 17 \Rightarrow k \equiv 80 \mod 17
\]
Tính \(80 \mod 17\):
\[
80 \div 17 \approx 4.705 \Rightarrow 80 - 4 \times 17 = 80 - 68 = 12 \Rightarrow k \equiv 12 \mod 17
\]

Vậy:
\[
k = 17m + 12 \quad (m \in \mathbb{Z})
\]
Thay vào biểu thức cho \(x\):
\[
x = 7(17m + 12) + 3 = 119m + 84 + 3 = 119m + 87
\]
Do đó, ta có:
\[
x \equiv 87 \mod 119
\]

### Bước 2: Giải tiếp với phương trình thứ ba

Giờ ta sẽ sử dụng \(x \equiv 87 \mod 119\) và phương trình thứ ba:
\[
x \equiv 7 \mod 23
\]

Biểu diễn \(x\):
\[
x = 119n + 87 \quad (n \in \mathbb{Z})
\]

Thay vào phương trình:
\[
119n + 87 \equiv 7 \mod 23
\]

Giải phương trình:
Tính \(119 \mod 23\):
\[
119 \div 23 \approx 5.1739 \Rightarrow 119 - 5 \times 23 = 119 - 115 = 4 \Rightarrow 119 \equiv 4 \mod 23
\]
Thay vào phương trình:
\[
4n + 87 \equiv 7 \mod 23 \Rightarrow 4n \equiv 7 - 87 \mod 23 \Rightarrow 4n \equiv -80 \mod 23 \Rightarrow 4n \equiv -80 + 92 \mod 23 \Rightarrow 4n \equiv 12 \mod 23
\]
Giải phương trình \(4n \equiv 12 \mod 23\):
\[
n \equiv 3 \mod 23 \quad (bởi vì 4^{-1} \equiv 6 \mod 23 \text{ sau khi tìm số nghịch đảo})
\]
Từ đó:
\[
n = 23p + 3 \quad (p \in \mathbb{Z})
\]

### Bước 3: Thay lại tính \(x\)

Thay vào biểu thức cho \(x\):
\[
x = 119(23p + 3) + 87 = 2737p + 357 + 87 = 2737p + 444
\]
Vậy:
\[
x \equiv 444 \mod 2737
\]

### Kết quả

Số đó chia cho 2737 dư 444.

---

## Bài 2:

Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3, thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9.

Gọi hai số nguyên là \(a\) và \(b\). Giả sử \(a + b \equiv 0 \mod 3\). Điều này có nghĩa là \(a + b\) chia hết cho 3.

Ta sẽ xem xét các khả năng của \(a\) và \(b\) theo modulo 3:
- Nếu \(a \equiv 0\), \(b \equiv 0\) (mod 3), thì \(a^3 \equiv 0\) và \(b^3 \equiv 0\) (mod 9), và \(a^3 + b^3 \equiv 0 + 0 \equiv 0 \mod 9\).

- Nếu \(a \equiv 1\), \(b \equiv 2\) (mod 3), thì \(a^3 \equiv 1\) (mod 9) và \(b^3 \equiv 8\) (mod 9); do đó \(a^3 + b^3 \equiv 1 + 8 \equiv 9 \equiv 0 \mod 9\).

- Nếu \(a \equiv 2\), \(b \equiv 1\) (mod 3), thì tương tự, \(a^3 \equiv 8\) (mod 9) và \(b^3 \equiv 1\) (mod 9); do đó \(a^3 + b^3 \equiv 8 + 1 \equiv 9 \equiv 0 \mod 9\).

Vậy, trong tất cả các trường hợp, \(a^3 + b^3\) đều chia hết cho 9.

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9.